Hoofdstuk 6 Analyse

6.1 Limieten

6.1.1 Definitie limiet

\(b\) is de limiet van \(f\) voor \(x\) gaande naar \(a\)

\begin{align*} &\Leftrightarrow \quad \lim _{x \to a} f(x) = b\\ &\Leftrightarrow \quad \forall \epsilon \gt 0, \exists \delta \gt 0, \forall x \in \text {dom} \,f :\\ & \qquad \qquad 0 \lt | x - a | \lt \delta \Rightarrow | f(x) - b | \lt \epsilon \end{align*}

6.1.2 Rekenregels limieten

\begin{align*} \lim _{x \to a} \left ( f(x) \pm g(x) \right ) &= \lim _{x \to a} f(x) \pm \lim _{x \to a} g(x)\\ \lim _{x \to a} \left ( c \cdot f(x) \right ) &= c \cdot \lim _{x \to a}f(x) \qquad \text {met } c \in \mathbb {R}\\ \lim _{x \to a} \left ( f(x) \cdot g(x) \right ) &= \lim _{x \to a} f(x) \,\cdot \, \lim _{x \to a} g(x)\\ \lim _{x \to a} \dfrac { f(x) }{ g(x) } &= \dfrac {\lim _{x \to a} f(x)}{\lim _{x \to a} g(x)}\\ \lim _{x \to a} \left ( f(x)^{g(x)} \right ) &= \left ( \lim _{x \to a} f(x) \right )^{\lim _{x \to a} g(x)}\\ \lim _{x \to a} \left ( f(x)^n \right ) &= \left ( \lim _{x \to a} f(x) \right )^n\\ \lim _{x \to a} \sqrt [n]{f(x)} &= \sqrt [n]{\lim _{x \to a} f(x)} \end{align*}

6.1.3 Rekenregels oneindig

\begin{align*} (+\infty )+(+\infty ) &= +\infty \\ (-\infty )+(-\infty ) &= -\infty \\ k+(+\infty )&=+\infty \\ k+(-\infty )&=-\infty \\ (+\infty )\cdot (+\infty ) &= +\infty \\ (+\infty )\cdot (-\infty ) &= -\infty \\ (-\infty )\cdot (+\infty ) &= -\infty \\ (-\infty )\cdot (-\infty ) &= +\infty \end{align*}

\begin{align*} k\cdot (+\infty )&=\begin{cases}+\infty & (k \gt 0)\\-\infty & (k \lt 0)\end {cases}\\ k\cdot (-\infty )&=\begin{cases}-\infty & (k \gt 0)\\+\infty & (k \lt 0)\end {cases}\\ \dfrac {k}{+\infty }&=0\\ \dfrac {k}{-\infty }&=0\\ \dfrac {k}{0} &= +\infty \text { of } -\infty \end{align*}

6.1.4 Voorlopig onbepaalde vormen

\[(\pm \infty )-(\pm \infty )\;,\quad (\pm \infty )+(\mp \infty )\]

\[\dfrac {\pm \infty }{\pm \infty }\;,\quad \dfrac {0}{0}\;,\quad \dfrac {k}{0} \]

\[0\cdot (\pm \infty )\;,\quad 1^{\pm \infty }\;, \quad 0^0\;, \quad (\pm \infty )^0\]

6.1.5 Basislimieten

\begin{align*} \lim _{x\to a}c &= c \qquad (c \in \mathbb {R})\\ \lim _{x\to \pm \infty }c &= c\\ \lim _{x\to a}x &= a\\ \lim _{x\to \pm \infty }x &= \pm \infty \\ \lim _{x\to +\infty }x^k &= +\infty \qquad (k\in \mathbb {N}_0)\\ \lim _{x\to -\infty }x^k &= \begin{cases}+\infty &(k \text { is even})\\-\infty &(k \text { is oneven})\end {cases}\\ \lim _{x\to \pm \infty }\dfrac {1}{x} &= 0\\ \lim _{x\underset {\lt }{\to }0}\dfrac {1}{x} &= -\infty \\ \lim _{x\underset {\gt }{\to }0}\dfrac {1}{x} &= +\infty \end{align*}

\[\lim _{x\to \pm \infty }\left (a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_0\right ) = \lim _{x\to \pm \infty }a_nx^n\]

6.1.6 Limieten van een veeltermfuncties

\[\lim _{x\to a}f(x)=f(a) \qquad \text { met $f(x)$ een veeltermfunctie en $a\in \mathbb {R}$}\]

\[\lim _{x\to \pm \infty }\left (a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0\right ) = \lim _{x\to \pm \infty }a_nx^n\]

6.1.7 Limiet van een rationale functie

\[\lim _{x\to a}\dfrac {f(x)}{g(x)}=\dfrac {f(a)}{g(a)} \qquad \text {als $g(a)\neq 0$}\]

\[\lim _{x\to a}\dfrac {f(x)}{g(x)}=\dfrac {k}{0}=\underbrace {+\infty \text { of } -\infty }_{\text {tekenonderzoek}} \qquad \text {als $f(a)\neq 0$ en $g(a)=0$}\]

\[\lim _{x\to a}\dfrac {f(x)}{g(x)}=\dfrac {"0"}{0} =\lim _{x\to a}\dfrac {(x-a)\;\;f_r(x)}{(x-a)\underbrace {g_r(x)}_{\text {Horner}}}=\lim _{x\to a}\dfrac {f_r(x)}{g_r(x)}\]

\[\lim _{x\to \pm \infty }\dfrac {\left (a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0\right )}{\left (b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots +b_1x+b_0\right )}=\lim _{x\to \pm \infty }\dfrac {a_nx^n}{b_mx^m}\]

6.1.8 Limieten van goniometrische functies

\begin{align*} \lim _{x \to 0}\dfrac {\sin x}{x} &= 1\\ \lim _{x \to +\infty }\dfrac {\sin x}{x} &= 0\\ \lim _{x \to 0}\dfrac {\cos x - 1}{x} &= 0 \end{align*}

6.1.9 Bijzondere limieten

\begin{align*} \lim _{x \to 0}\dfrac {e^x-1}{x} &= 1\\ \lim _{x \to 0}\dfrac {\ln (x+1)}{x} &= 1\\ \lim _{n \to +\infty }\left (1+\dfrac {1}{n}\right )^n &= e \qquad (n \in \mathbb {N})\\ \end{align*}

6.1.10 Regel van de l’Hospital

\begin{align*} \lim _{x \to a}\dfrac {f(x)}{g(x)} &= \dfrac {"0"}{0} \overset {\text {H}}{=} \lim _{x \to a}\dfrac {f'(x)}{g'(x)}\\ \lim _{x \to a}\dfrac {f(x)}{g(x)} &= \dfrac {"\pm \infty "}{\pm \infty } \overset {\text {H}}{=} \lim _{x \to a}\dfrac {f'(x)}{g'(x)}\\ \lim _{x \to \pm \infty }\dfrac {f(x)}{g(x)} &= \dfrac {"\pm \infty "}{\pm \infty } \overset {\text {H}}{=} \lim _{x \to \pm \infty }\dfrac {f'(x)}{g'(x)}\\ \end{align*}

6.2 Asymptoten

6.2.1 Verticale asymptoten (V.A.)

Grafisch

Een verticale asymptoot van \(f\) is een verticale rechte die op oneindig de kromme van \(f\) benadert.

Algebraı̈sch

De rechte \(x=a\) is een verticale asymptoot van \(f\) in \(a \in \mathbb {R}\)

\[\Leftrightarrow \lim _{x \underset {\gtrless }{\to } a} f(x) = \pm \infty \]

6.2.2 Horizontale asymptoten (H.A.)

Grafisch

Een horizontale asymptoot van \(f\) is een horizontale rechte die op oneindig de kromme van \(f\) benadert.

Algebraı̈sch

De rechte \(y=b\) is een horizontale asymptoot van \(f\)

\[\Leftrightarrow \lim _{x \to \pm \infty } f(x) = b \]

6.2.3 Schuine asymptoten (S.A.)

Grafisch

Een schuine asymptoot van \(f\) is een schuine rechte die op oneindig de kromme van \(f\) benadert.

Algebraı̈sch

De rechte \(y=mx+q\) is een schuine asymptoot van \(f\)

\begin{align*} &\Leftrightarrow \lim _{x \to \pm \infty } \left (f(x) - mx -q \right ) = 0\\ &\Leftrightarrow \begin{cases} m = \lim _{x \to \pm \infty } \dfrac {f(x)}{x}\\ q = \lim _{x \to \pm \infty } \left ( f(x) - mx \right )\\ \end {cases} \end{align*}

6.3 Afgeleiden

6.3.1 Afgeleide waarde

\(f'(a)\) is de afgeleide waarde van \(f\) in \(a\)

\begin{align*} \Leftrightarrow f'(a)&=\lim _{h\to 0}\dfrac {f(a+h)-f(a)}{h}\\ \Leftrightarrow f'(a)&=\lim _{x\to a}\dfrac {f(x)-f(a)}{x-a} \end{align*}

6.3.2 Basisafgeleiden

\begin{align*} \left (c\right )'&=0\\ \left (x\right )'&=1\\ \left (x^2\right )'&=2x\\ \left (x^3\right )'&=3x^2\\ \left (x^n\right )'&=n\cdot x^{n-1}\\ \left (\sqrt {x}\right )'&=\dfrac {1}{2\sqrt {x}}\\ \end{align*}

6.3.3 Afgeleiden van exponentiële en logaritme

\begin{align*} \left (e^x\right )'&=e^x\\ \left (a^x\right )'&=a^x\cdot \ln a\\ \left (\ln x\right )'&=\dfrac {1}{x}\\ \left (\log _a{x}\right )'&=\dfrac {1}{x\cdot \ln a}\\ \end{align*}

6.3.4 Goniometrische afgeleiden

\begin{align*} \left (\sin x\right )'&=\cos x\\ \left (\cos x\right )'&=-\sin x\\ \left (\tan x\right )'&=\dfrac {1}{\cos ^2 x} = \sec ^2 x\\ \left (\cot x\right )'&=-\dfrac {1}{\sin ^2 x} = -\csc ^2 x\\ \left (\arcsin x\right )'&=\dfrac {1}{\sqrt {1-x^2}}\\ \left (\arccos x\right )'&=-\dfrac {1}{\sqrt {1-x^2}}\\ \left (\arctan x\right )'&=\dfrac {1}{1+x^2}\\ \left (\text {arccot } x\right )'&=-\dfrac {1}{1+x^2} \end{align*}

6.3.5 Eigenschappen van afgeleiden

Somregel

\[(f+g)'(x) = f'(x)+g'(x)\]

Veelvoudregel

\[(c \cdot f)'(x) = c\cdot f'(x)\]

Productregel

\[(f \cdot g)'(x) = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)\]

Quotiëntregel

\[\left (\dfrac {f}{g}\right )'(x) = \dfrac {f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)}\]

Kettingregel

\[\left (g\left (f\left (x\right )\right )\right )' = g'(f(x))\cdot f'(x)\]

6.3.6 Hogere afgeleiden

\[ \begin {array}{lccc} \text {Aantal} & f' & Df & \dfrac {\text {d}f}{\text {d}x} \\[1em] \hline \text {}\\ \text {eerste afgeleide} & f' & Df & \dfrac {\text {d}f}{\text {d}x}\\[1em] \text {tweede afgeleide} & f'' & D^2f & \dfrac {\text {d}^2f}{\text {d}x^2}\\ \qquad \quad \vdots \\ \text {$n$-de afgeleide} & f^{(n)} & D^nf & \dfrac {\text {d}^nf}{\text {d}x^n}\\ \end {array} \]

• • \(f'\) : Lagrange’s notatie

• • \(Df\) : Euler’s notatie

• • \(\dfrac {\text {d}f}{\text {d}x}\) : Leibniz’s notatie

6.4 Functieonderzoek

6.4.1 Raaklijn

Definitie

De raaklijn aan de grafiek van \(f\) voor \(x=a\):

• • punt: \((a,f(a))\)

• • richtingscoëfficiënt: \(f'(a)\)

• • vergelijking:

  \[t \leftrightarrow y-f(a)=f'(a)(x-a)\]

6.4.2 Stijgen en dalen van een functie

Stijgen en dalen in een interval

• • \(f\) is stijgend in \([a,b]\) als

  \[\forall x_1,x_2 \in [a,b]: x_1 \lt x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)\]

• • \(f\) is dalend in \([a,b]\) als

  \[\forall x_1,x_2 \in [a,b]: x_1 \lt x_2 \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)\]

• • \(f\) is strikt stijgend in \([a,b]\) als

  \[\forall x_1,x_2 \in [a,b]: x_1 \lt x_2 \Rightarrow f(x_1) \lt f(x_2)\]

• • \(f\) is strikt dalend in \([a,b]\) als

  \[\forall x_1,x_2 \in [a,b]: x_1 \lt x_2 \Rightarrow f(x_1) \gt f(x_2)\]

Stijgen en dalen in een punt

• • \(f\) is stijgend in \(a \in \text {dom} f\) als

  \[\exists B(a,\delta ) : f \text { stijgt in } ]a-\delta , a+\delta [ \; \cap \; \text {dom} f\]

• • \(f\) is dalend in \(a \in \text {dom} f\) als

  \[\exists B(a,\delta ) : f \text { daalt in } ]a-\delta , a+\delta [ \; \cap \; \text {dom} f\]

Eigenschappen

\(f\) afleidbaar over \([a,b]\) dan \(\forall x \in ]a,b[:\)

• • \(f'(x) \gt 0 \Rightarrow f \text { is strikt stijgend in } [a,b]\)

• • \(f'(x) \lt 0 \Rightarrow f \text { is strikt dalend in } [a,b]\)

• • \(f'(x) = 0 \Rightarrow f \text { is constant in } [a,b]\)

\(f\) afleidbaar in \(a\):

• • \(f\) stijgt in \(a\) \(\Leftrightarrow f'(a) \geq 0\)

• • \(f\) daalt in \(a\) \(\Leftrightarrow f'(a) \leq 0\)

Stelling van Rolle

\[ \begin {cases} f \text { is continue in } [a,b]\\ f \text { is afleidbaar in } ]a,b[\\ f(a) = f(b) \end {cases} \]

\[\Rightarrow \exists c \in ]a,b[ : f'(c) = 0\]

Middelwaardestelling van Lagrange

\[ \begin {cases} f \text { is continue in } [a,b]\\ f \text { is afleidbaar in } ]a,b[\\ \end {cases} \]

\[\Rightarrow \exists c \in ]a,b[ : f'(c) = \dfrac {f(b) - f(a)}{b-a}\]

6.5 Rijen en reeksen

6.5.1 Rijen

Rij: een afbeelding

\[(u_n) : \mathbb {N}_0 \to \mathbb {R}\]

Notatie: \((u_n)_{n \in \mathbb {N}_0}\)

Term: element van de rij

Expliciet voorschrift: term \(u_n\) kan berekend worden door \(n\) in te vullen

\[u_n=u(n)\]

Impliciet voorschrift: (recursief voorschrift) term \(u_n\) berekenen door termen met lagere index te gebruiken

\[u_n=u(u_1,u_2, ..., u_{n-1})\]

Partiële som: som van de eerste \(n\) termen

\begin{align*} s_n &= u_1 + u_2 + ... + u_n\\ &=\sum _{i=1}^nu_i \end{align*}

Convergentie:

• • \((u_n)_n\) is convergent

  \[\Leftrightarrow \lim _{n \to +\infty } u_n \in \mathbb {R}\]

• • \((u_n)_n\) is divergent

  \[\Leftrightarrow \lim _{n \to +\infty } u_n = \begin {cases} +\infty \,/ -\infty \\ \text {bestaat niet} \end {cases} \]

6.5.2 Rekenkundige rijen

Definitie:

Een rekenkundige rij (RR) is een rij waarbij elke term \(u_n\) de som is van de vorige term \(u_{n-1}\) met een constant getal \(v\) (het verschil).

Impliciet voorschrift: \(u_n = u_{n-1} + v\)

Expliciet voorschrift: \(u_n = u_1 + (n-1)v\)

Partiële som: \(s_n = \dfrac {n \cdot (u_1 + u_n) }{2}\)

Convergentie:

• • RR divergent \(\Leftrightarrow v \neq 0\)

• • RR convergent \(\Leftrightarrow v = 0\)

  \[\Rightarrow (u_n)_n \longrightarrow u_1\]

6.5.3 Meetkundige rijen

Definitie:

Een meetkundige rij (MR) is een rij waarbij elke term \(u_n\) het product is van de vorige term \(u_{n-1}\) met een constant getal \(q\) (het quotiënt of de reden).

Impliciet voorschrift: \(u_n = u_{n-1} \cdot q\)

Expliciet voorschrift: \(u_n = u_1 \cdot q^{n-1}\)

Partiële som: \(s_n = \begin {cases} u_1 \cdot \dfrac {1 - q^n}{1 - q} & (q \neq 1)\\ n \cdot u_1 & (q = 1) \end {cases} \)

Convergentie:

• • \(u_1 \neq 0 \wedge -1 \lt q \leq 1 \Rightarrow \) MR convergent

• • \(u_1 = 0 \Rightarrow \) MR convergent

• • \(u_1 \ne 0 \wedge q \leq -1 \vee q > 1 \Rightarrow \) MR divergent

6.5.4 Harmonische rij

\[(u_n): 1, \dfrac {1}{2}, \dfrac {1}{3}, ..., \dfrac {1}{n}, ...\]

Impliciet voorschrift: \(u_n = \dfrac {1}{\dfrac {2}{u_{n-1}} - \dfrac {1}{u_{n-2}}}\)

Expliciet voorschrift: \(u_n = \dfrac {1}{n}\)

Convergentie:

\[\left (\dfrac {1}{n}\right )_n \longrightarrow 0\]

Grafiek:

6.5.5 Rij van Fibonacci

\[ (f_n)_n: \begin {cases} f_1 = 1\\ f_2 = 1\\ f_n =f_{n-2} + f_{n-1} \end {cases} \]

6.6 Integralen

6.6.1 Definities

\(F\) is een primitieve functie van \(f\)

\[ \Leftrightarrow F' = f\]

\[[F(x)]_a^b = F(b) - F(a)\]

6.6.2 Eigenschappen integralen

Integreren en differentiëren

Inverse operaties!

\begin{align*} \left (\int f(x) \;dx \right )' &= f(x)\\ \int F'(x) \;dx &= F(x) + C \end{align*}

Lineariteit

\begin{align*} \int f(x) + g(x) \;dx &= \int f(x)\; dx + \int g(x) \;dx\\ \int a f(x) \;dx &= a \int f(x) \;dx \end{align*}

6.6.3 Basisintegralen

\begin{align*} \int \;dx &= x + C\\ \int x^n \;dx &= \dfrac {x^{n+1}}{n+1} + C \qquad (n \neq -1)\\ \int \dfrac {1}{x} \;dx &= \ln |x| + C\\ \int e^x \;dx &= e^x + C\\ \int a^x \;dx &= \dfrac {a^x}{\ln a} + C\\ \int \sin x \;dx &= -\cos x + C\\ \int \cos x \;dx &= \sin x + C\\ \int \dfrac {1}{\cos ^2 x} \;dx &= \tan x + C\\ \int \sec ^2 x \;dx &= \tan x + C\\ \int \dfrac {1}{\sin ^2 x} \;dx &= -\cot x + C\\ \int \csc ^2 x \;dx &= -\cot x + C\\ \int \dfrac {1}{1+x^2} \;dx &= \arctan x + C\\ \int \dfrac {1}{\sqrt {1-x^2}} \;dx &= \arcsin x + C\\ \int \dfrac {1}{\sqrt {x^2+k}} \;dx &= \ln |x + \sqrt {x^2+k}| + C\\ \int \sinh x \;dx &= \cosh x + C\\ \int \cosh x \;dx &= \sinh x + C\\ \end{align*}

6.6.4 Integratiemethoden

Substitutiemethode

\[\int f(t)\;dt = \int f(g(x))g'(x)\;dx\]

met substitutie \(t=g(x)\)

Partiële integratie

\[\int f'(x) \cdot g(x) \;dx = f(x) \cdot g(x) - \int f(x) \cdot g'(x) \;dx\]

6.6.5 Integratie van Rationale Functies

Methode Voor het integreren van een rationale functie \(\dfrac {P(x)}{Q(x)}\):

• 1. Als \(\text {gr}(P(x)) \ge \text {gr}(Q(x))\), voer een Euclidische deling uit:

  \[\dfrac {P(x)}{Q(x)} = S(x) + \dfrac {R(x)}{Q(x)}\]

  met \(\text {gr}(R(x)) < \text {gr}(Q(x))\).

• 2. Factoriseer de noemer \(Q(x)\) in lineaire factoren \((px+q)^m\) en/of irreducibele kwadratische factoren \((ax^2+bx+c)^n\).

• 3. Ontbind \(\dfrac {R(x)}{Q(x)}\) in een som van partieelbreuken.

  • • Voor elke factor \((px+q)^m\) bevat de ontbinding:

    \[\dfrac {A_1}{px+q} + \dfrac {A_2}{(px+q)^2} + \dots + \dfrac {A_m}{(px+q)^m}\]

  • • Voor elke factor \((ax^2+bx+c)^n\) bevat de ontbinding:

    \[\dfrac {B_1x+C_1}{ax^2+bx+c} + \dfrac {B_2x+C_2}{(ax^2+bx+c)^2} + \dots + \dfrac {B_nx+C_n}{(ax^2+bx+c)^n}\]

• 4. Integreer het veeltermgedeelte \(S(x)\) en elke partieelbreuk afzonderlijk.

6.6.6 Toepassingen van bepaalde integralen

Oppervlakte tussen kromme en x-as De oppervlakte \(A\) tussen de grafiek van \(f(x)\) en de x-as over het interval \([a,b]\):

\[ A = \int _a^b |f(x)| \,dx \]

Oppervlakte tussen twee krommen De oppervlakte \(A\) ingesloten door de grafieken van \(f(x)\) en \(g(x)\) over het interval \([a,b]\):

\[ A = \int _a^b |f(x) - g(x)| \,dx \]

Volume van een omwentelingslichaam Het volume \(V\) van het lichaam verkregen door de grafiek van \(f(x)\) te wentelen rond de x-as over \([a, b]\):

\[ V_x = \pi \int _a^b [f(x)]^2 \,dx \]

Booglengte van een kromme De lengte \(L\) van de boog van de grafiek van \(f(x)\) van \(x=a\) tot \(x=b\):

\[ L = \int _a^b \sqrt {1 + [f'(x)]^2} \,dx \]