Hoofdstuk 2 Lineaire algebra

2.1 Matrices

2.1.1 Definities matrices

Een \(m \times n\)-matrix heeft de vorm

\[ \begin {pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end {pmatrix} \]

• • \(a_{ij}\) : elementen

• • \(m \times n\) : orde (grootte)

• • \(m\) : aantal rijen

• • \(n\) : aantal kolommen

• • Notatie: \(A\), \(B\), \(C\), ...

• • Verkorte schrijfwijze: \((a_{ij})\)

• • \(\mathbb {R}^{m \times n}\) : verzameling van alle \(m \times n\)-matrices

2.1.2 Bijzondere matrices

Nulmatrix \(O_{m,n}\) is een \(m \times n\)-matrix met alle \(a_{ij}=0\)

Rijmatrix precies één rij.

Kolommatrix precies één kolom.

Vierkante matrix evenveel rijen als kolommen, \(m=n\).

• • hoofddiagonaal : rij elementen \(a_{11}\), \(a_{22}\), ... , \(a_{nn}\)

• • nevendiagonaal : rij elementen \(a_{n\,1}\), \(a_{n-1\,2}\), ... , \(a_{1\,n}\)

Diagonaalmatrix een vierkante matrix met alle \(a_{ij} = 0\) waarbij \(i \neq j\)

Scalaire matrix een diagonaalmatrix met \(a_{11} = a_{22} = \cdots = a_{nn}\)

Bovendriehoeksmatrix een vierkante matrix waarvoor \(a_{ij}=0\) met \(i \gt j\)

Onderdriehoeksmatrix een vierkante matrix waarvoor \(a_{ij}=0\) met \(i \lt j\)

Eenheidsmatrix \(I_n\) van orde \(n\) waarvoor \(a_{ii}=1\)

\[ \begin {pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end {pmatrix} \]

2.1.3 Som twee matrices

Definitie

\[A, B \in \mathbb {R}^{m \times n} \Rightarrow A + B = C \in \mathbb {R}^{m \times n}\]

met

\[(c_{ij}) = (a_{ij} + b_{ij})\]

Groepseigenschappen I-A-N-S-C

\begin{align*} A + B & = C \in \mathbb {R}^{m \times n}\\ A + (B + C) & = (A + B) + C\\ A + O_{m,n} & = A = O_{m,n} + A\\ A + (-A) & = O_{m,n} = (-A) + A\\ A+B & = B+A \end{align*}

\[\Rightarrow \mathbb {R}^{m \times n}, + \text { is een commutatieve groep}\]

2.1.4 Scalair product matrices

Definitie

\[\lambda \in \mathbb {R}, A \in \mathbb {R}^{m \times n}\]

\begin{align*} \Rightarrow \lambda \cdot A &= \lambda \cdot \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end {pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} \lambda \cdot a_{11} & \lambda \cdot a_{12} & \cdots & \lambda \cdot a_{1n} \\ \lambda \cdot a_{21} & \lambda \cdot a_{22} & \cdots & \lambda \cdot a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda \cdot a_{m1} & \lambda \cdot a_{m2} & \cdots & \lambda \cdot a_{mn} \\ \end {pmatrix} \end{align*}

Eigenschappen

\begin{align*} \lambda \cdot A & \in \mathbb {R}^{m \times n} \\ \lambda \cdot (\mu \cdot A) & = (\lambda \mu ) \cdot A \\ \lambda \cdot (A + B) & = \lambda \cdot A + \lambda \cdot B \\ (\lambda + \mu ) \cdot A & = \lambda \cdot A + \mu \cdot A \\ 1 \cdot A & = A \\ 0 \cdot A & = O_{m,n} \end{align*}

\[\Rightarrow \mathbb {R}, \mathbb {R}^{m \times n}, + \text { is een reÃńle vectorruimte}\]

2.1.5 Product twee matrices

Definitie

\[A \in \mathbb {R}^{m \times n}, B \in \mathbb {R}^{n \times p} \Rightarrow A \cdot B = C \in \mathbb {R}^{m \times p}\]

met

\[c_{ij} = \sum _{k=1}^n a_{ik} \cdot b_{kj}\]

Associatief

\[A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C\]

Opslorpend element

\[A_{m \times n} \cdot O_{n \times p} = O_{m \times p} = O_{m \times n} \cdot B_{n \times p}\]

Neutraal element

\[A \cdot I = A = I \cdot A\]

NIET commutatief!

2.1.6 Getransponeerde van een matrix

Definitie Als \(A=(a_{ij})\) dan is de getransponeerde matrix \(A^T\) is

\[A^T=(a_{ji})\]

(rijen \(\leftrightarrow \) kolommen)

Eigenschappen

\begin{align*} (A^T)^T&=A\\ (\lambda \cdot A)^T&=\lambda \cdot A^T\\ (A + B)^T &= A^T + B^T\\ (A \cdot B)^T &= B^T \cdot A^T\\ \end{align*}

2.1.7 Bijzondere vierkante matrices

\begin{align*} A \text { is {\bf symmetrisch} } & \Leftrightarrow A^T = A \\ A \text { is {\bf antisymmetrisch} } & \Leftrightarrow A^T = -A \\ A \text { is {\bf orthogonaal} } & \Leftrightarrow A \cdot A^T = I_n = A^T \cdot A \\ A \text { is {\bf idempotent} } & \Leftrightarrow A^2 = A \\ A \text { is {\bf nilpotent} } &\Leftrightarrow \exists n\in \mathbb {N}:A^n=O\\ \text {index } p &=\min \{n\in \mathbb {N}:A^n=O\} \end{align*}

2.1.8 Inverse matrices

\(A^{-1}\) is de inverse matrix van \(A\)

\[\Leftrightarrow A \cdot A^{-1} = I_n = A^{-1} \cdot A\]

2.2 Stelsels

2.2.1 Definitie

Stelsel lineaire vergelijkingen

\[\left \{ \begin {aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n & = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n & = b_2 \\ \vdots \qquad \qquad \qquad & = \,\vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n & = b_m \\ \end {aligned} \right .\]

• • \(a_{ij}\) : coëfficiënten

• • \(x_i\) : onbekenden

• • \(b_i\) : constante termen (bekenden)

Stelsel als matrixvergelijking

\[A \cdot X = B\]

• • \(A\) : coëfficiëntenmatrix

  \[A = \begin {pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end {pmatrix} \]

• • \(X\) : onbekendenmatrix

  \[X = \begin {pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots \\ x_n\\ \end {pmatrix} \]

• • \(B\) : matrix van constante termen (bekenden)

  \[B = \begin {pmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots \\ b_m\\ \end {pmatrix} \]

Verhoogde matrix

\[A_B = \begin {pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} &|& b_1\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} &|& b_2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} &|& b_m\\ \end {pmatrix} \]

2.2.2 Elementaire rijoperaties

Verwisselen twee rijen

\[R_i \leftrightarrow R_j\]

Vermenigvuldigen rij met getal

\[R_i \leftarrow k \cdot R_i \qquad \text { met } k \neq 0\]

Veelvoud rij bij andere rij

\[R_i \leftarrow R_i + k \cdot R_j \qquad \text { met } i \neq j\]

2.2.3 Trapvorm

Rij canonieke trapmatrix voldoet aan

• • alle nulrijen staan onderaan

• • hoofdelement: eerste niet-nulelement in een rij is 1

• • alle elementen boven of onder een hoofdelement zijn 0

• • trapvorm: elke rij begint met meer nullen van de vorige

\[ \begin {pmatrix} 1 & 0 & a_1 & 0 & b_1 \\ 0 & 1 & a_2 & 0 & b_2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & b_3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end {pmatrix} \]

Rang

• • \(\text {rang}(A)\): aantal niet-nulrijen in de rij canonieke trapmatrix van \(A\)

2.2.4 Homogeen stelsel

Algemeen

\[\left \{ \begin {aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n &= 0\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n &= 0\\ \vdots \qquad \qquad \qquad &= \,\vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n &= 0\\ \end {aligned} \right .\]

\[\Leftrightarrow A \cdot X = 0\]

Homogeen \(2 \times 3-\)stelsel

\[\left \{ \begin {aligned} a_1x + b_1y + c_1z &= 0\\ a_2x + b_2y + c_2z &= 0\\ \end {aligned} \right .\]

met rang 2 heeft oneindig veel (\(\lambda \in \mathbb {R}\)) oplossingen:

\[ x = \lambda \cdot \begin {vmatrix}b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2\end {vmatrix} \quad y = - \lambda \cdot \begin {vmatrix}a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2\end {vmatrix} \quad z = \lambda \cdot \begin {vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end {vmatrix}\]

2.3 Determinanten

2.3.1 Definities

Determinant van een \(1 \times 1\)-matrix

\[\begin {vmatrix}a_{11}\end {vmatrix} = a_{11}\]

Determinant van een \(2 \times 2\)-matrix

\[\begin {vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end {vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12}\]

Determinant van een \(3 \times 3\)-matrix

Regel van Sarrus

\begin{align*} \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end {vmatrix} = \;& a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\\ &-a_{31}a_{22}a_{13}-a_{32}a_{23}a_{11}-a_{33}a_{21}a_{12} \end{align*}

Regel van Laplace

\begin{align*} \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end {vmatrix} &=a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + a_{i3}A_{i3}\\ &=a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + a_{3j}A_{3j} \end{align*}

• • \(A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}\) : cofactor van \(a_{ij}\), product van \((-1)^{i+j}\) en de minor \(M_{ij}\) van \(a_{ij}\)

• • \(M_{ij}\) : minor \(M_{ij}\) van \(a_{ij}\), determinant van \(A\) waarbij je de \(i\)-de rij en \(j\)-de kolom schrapt

Determinant van een \(n \times n\)-matrix

\begin{align*} \det (A) &= \sum _{j=1}^{n} a_{ij}A_{ij} \qquad \text {$i$ een willekeurige rij}\\ &= \sum _{i=1}^{n} a_{ij}A_{ij} \qquad \text {$j$ een willekeurige kolom}\\ \end{align*}

2.3.2 Eigenschappen van determinanten

Hoofdeigenschappen

• • Twee rijen of kolommen wisselen \(\Rightarrow \) teken determinant veranderen

• • Twee gelijke rijen of kolommen \(\Rightarrow \) determinant \(= 0\)

• • Rij of kolom is veelvoud van andere rij of kolom \(\Rightarrow \) determinant \(= 0\)

• • Rij of kolom maal factor \(k\) \(\Rightarrow \) determinant maal factor \(k\)

• • Rij of kolom optellen met veelvoud andere rij of kolom \(\Rightarrow \) determinant blijft gelijk

Bewerkingen

\begin{align*} \det (A \cdot B) &= \det (A) \cdot \det (B)\\ \det (k \cdot A) &= k^n \cdot \det (A)\\ \det (A^T) &= \det (A) \end{align*}

Bestaan van een inverse matrix

\[\exists A^{-1} \Leftrightarrow \det (A) \neq 0\]

Bepalen van de inverse matrix

\[A^{-1} = \dfrac {1}{\det (A)} \cdot \text {adj}(A)\]

• • \(\text {adj}(A)\) : adjunctmatrix, matrix waarbij elk element \(a_{ij}\) wordt vervangen door cofactor \(A_{ij}\) en de bekomen matrix wordt getransponeerd

Regel van Cramer Stelsel

\[A \cdot X = B\]

met \(\det (A) \neq 0\):

\[ x_i = \dfrac {\det (A_i)}{\det (A)} \]

• • \(A_i\): matrix \(A\) met kolom \(i\) vervangen door \(B\).