Hoofdstuk 5 Reële functies

5.1 Reële functies

5.1.1 Definities

Reële functie: een verzameling van koppels reële getallen \((x,y)\), zodat elk getal \(x\) hoogstens één beeld \(y\) heeft.

Notatie: \(f\), \(g\), \(h\), \(f_1\), \(f_2\), ...

Terminologie: \((x,y) \in \mathbb {R}^2\)

• • \(x\) argument, onafhankelijke veranderlijke, abscis, \(x\)-waarde

• • \(y\) beeld, afhankelijke veranderlijke, ordinaat, \(y\)-waarde

• • \(\in \) element van

• • \(\mathbb {R}^2\) verzameling van alle koppels reële getallen

Voorstellingswijzen:

• • functievoorschrift: \(f : \mathbb {R} \to \mathbb {R}:x \mapsto f(x)\)

• • functiewaardentabel

• • grafiek

5.1.2 Karakteristieken van reële functies

Domein

Definitie: de verzameling van alle \(x\)-waarden waarvoor de functie een beeld heeft.

Notatie: \(\text {dom } f\)

Grafisch:

Bereik

Definitie: de verzameling van alle beelden van een functie.

Notatie: \(\text {ber } f\)

Grafisch:

Nulwaarden

Definitie: een \(x\)-waarde waarvoor geldt dat het beeld gelijk is aan nul.

Algebraı̈sch: Stel \(y=0\) in \(y=f(x)\). Dus zoek alle \(x\) waarvoor

\[f(x)=0\]

Grafisch:

Tekenverloop

Definitie: nagaan welk teken (positief, negatief of nul) het beeld \(y\) heeft als het argument \(x\) het domein doorloopt.

Werkwijze: Tekenschema met \(+\), \(-\), \(0\) en \(|\)

Stijgen en dalen

Definities:

• • \(f\) is stijgend in een interval \(I\) als voor de \(x\)-waarden \(a,b \in I\) met \(a \lt b\) geldt

  \[f(a) \leq f(b)\]

• • \(f\) is dalend in een interval \(I\) als voor de \(x\)-waarden \(a,b \in I\) met \(a \lt b\) geldt

  \[f(a) \geq f(b)\]

• • \(f\) die zowel stijgend als dalend is in een interval \(I\) noemen we constant op dat interval \(I\)

Werkwijze: Schema met \(\nearrow \) en \(\searrow \)

Extrema

Definities:

• • reëel getal \(m\) is het minimum van \(f\) op een interval \(I\) indien er voor alle \(x\in I\) geldt

  \[f(x)\geq m\;.\]

• • reëel getal \(M\) is het maximum van \(f\) op een interval \(I\) indien er voor alle \(x\in I\) geldt

  \[f(x)\leq M\;.\]

Werkwijz: In schema met \(\nearrow \) en \(\searrow \) ook min/max

5.2 Veeltermen

5.2.1 Veelterm

Veelterm is som ééntermen:

\begin{align*} P(x) &= a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0\\ &= \sum _{i=0}^{n} a_i x^i \end{align*}

• • \(x\): veranderlijke

• • \(a_i\in \mathbb {R}\): coëfficiënten

• • graad \(gr(P(x))\): hoogste exponent van \(x\) in \(P\)

• • getalwaarde van \(P(x)\) voor een gegeven \(a\): \(x\) vervangen door \(a\)

• • nulwaarde: alle \(a\) waarvoor \(P(a)=0\)

5.2.2 Graad na bewerkingen

\begin{align*} gr(A(x) + B(x)) &\leq \max (gr(A(x)),gr(B(x)))\\ gr(A(x) \cdot B(x)) &= gr(A(x)) + gr(B(x)) \end{align*}

5.2.3 Euclidische deling

\[A(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)\]

\[ \qquad \qquad \text { met } gr(R(x)) \lt gr(D(x)) \vee R(x)=0\]

• • \(A(x)\) : deeltal

• • \(D(x) \neq 0\) : deler

• • \(Q(x)\) : quotiënt

• • \(R(x)\) : rest

• • opgaande deling: \(R(x)=0\)

• • niet-opgaande deling: \(R(x) \neq 0\)

• • \(gr(A(x)) \lt gr(D(x)) \quad \Rightarrow \quad Q(x)=0 \wedge R(x)=A(x)\)

• • \(Q(x)\) en \(R(x)\) bestaan en zijn enig

5.3 Veeltermfuncties

5.3.1 Algemeen

Veeltermfunctie: een reële functie met functievoorschrift

\[f(x)= a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0\]

Graad: \(n\)-de graad

5.3.2 Veeltermfuncties van graad 0

• • Synoniem: constante functies

• • Vorm:

  \[f(x) = a \qquad (a \in \mathbb {R})\]

• • Grafiek: horizontale rechte evenwijdig met de \(x\)-as.

• • Domein: \(\mathbb {R}\)

• • Bereik: \(\{a\}\)

• • Snijpunt \(y\)-as: \((0, a)\)

• • Nulwaarden:

  \[ \begin {cases} \text {geen} & (a \neq 0) \\ \text {elke } x \in \mathbb {R} & (a = 0) \end {cases} \]

• • Tekenverloop:

  \[ \begin {array}{c|lcr} x & -\infty & & +\infty \\ \hline f(x) & & \text {teken van }a & \end {array} \]

5.3.3 Veeltermfuncties van graad 1

• • Synoniemen: eerstegraadsfuncties, lineaire functies

• • Vorm:

  \[f(x) = ax+b \qquad (a \in \mathbb {R}_0, b \in \mathbb {R})\]

• • Grafiek: schuine rechte

  \[ \begin {cases} \text {stijgende schuine rechte} \nearrow & (a \gt 0) \\ \text {dalende schuine rechte} \searrow & (a \lt 0) \end {cases} \]

• • Richtingcoëfficiënt: \(a\) maat voor de helling

• • Domein: \(\mathbb {R}\)

• • Bereik: \(\mathbb {R}\)

• • Nulwaarde: \(x_0=-\dfrac {b}{a}\)

• • Snijpunt \(x\)-as: \((-\dfrac {b}{a}, 0)\).

• • Snijpunt \(y\)-as: \((0, b)\)

• • Tekenverloop:

  \[ \begin {array}{c|lcccr} x & -\infty & & -\dfrac {b}{a} & & +\infty \\[0.2cm] \hline f(x) & & \substack {\text {tegengesteld }\\\text {teken } a } & 0 & \substack {\text {teken }\\a} & \end {array} \]

• • Extrema: geen

5.3.4 Veeltermfuncties van graad 2

• • Synoniemen: tweedegraadsfuncties, kwadratische functies

• • Vorm:

  \[f(x) = ax^2+bx+c \qquad (a \in \mathbb {R}_0, b,c \in \mathbb {R})\]

• • Domein: \(\mathbb {R}\).

• • Bereik:

  \[ \begin {cases} \text {ber }f = [f(-\dfrac {b}{2a}), +\infty [ & (a \gt 0)\\ \text {ber }f = ]-\infty , f(-\dfrac {b}{2a})] & (a \lt 0) \end {cases} \]

• • Nulwaarden: \(ax^2+bx+c=0\)

  • – \(D=b^2-4ac\)

  • – \(D>0 \Rightarrow \) twee verschillende nulwaarden

    \[x_1=\dfrac {-b-\sqrt {D}}{2a} \qquad x_2=\dfrac {-b+\sqrt {D}}{2a}\]

  • – \(D=0 \Rightarrow \) één nulwaarde

    \[x_0=-\dfrac {b}{2a}\]

  • – \(D<0 \Rightarrow \) geen nulwaarden

• • Tekenverloop:

  • – \(D>0\)

    \[ \begin {array}{c|ccccc} x & & x_1 & & x_2 &\\ \hline f(x) & \substack {\text {teken}\\a} & 0 & \substack {\text {tegengesteld}\\\text {teken }a} & 0 & \substack {\text {teken}\\a} \end {array} \]

  • – \(D=0\)

    \[ \begin {array}{c|lcccr} x & -\infty & & x_0 & & +\infty \\ \hline f(x) & & \substack {\text {teken}\\a} & 0 & \substack {\text {teken}\\a} & \end {array} \]

  • – \(D<0\)

    \[ \begin {array}{c|lcr} x & -\infty & & +\infty \\ \hline f(x) & & \text {teken } a & \end {array} \]

• • Grafiek: parabool met symmetrieas evenwijdig met de \(y\)-as

  • – \(a>0 \Rightarrow \) dalparabool

  • – \(a<0 \Rightarrow \) bergparabool

• • Top:

  \[(-\dfrac {b}{2a}, f(-\dfrac {b}{2a}))\]

  \[ = (-\dfrac {b}{2a}, -\dfrac {D}{4a})\]

  met \(D=b^2-4ac\)

• • Stijgen en dalen:

  • – \(a \lt 0\)

    \[ \begin {array}{c|lcr} x & & -\dfrac {b}{2a} & \\[0.2cm] \hline f(x) & \nearrow & \underset {=f(-\frac {b}{2a})}{\text {max}} & \searrow \end {array} \]

  • – \(a \gt 0\)

    \[ \begin {array}{c|lcr} x & & -\dfrac {b}{2a} & \\[0.2cm] \hline f(x) & \searrow & \underset {=f(-\frac {b}{2a})}{\text {min}} & \nearrow \end {array} \]

5.4 Rationale functies

5.4.1 Basisfunctie

Vorm:

\[f(x)=\dfrac {1}{x}\]

Grafiek: Hyperbool

Domein:

\[\text {dom }f = \mathbb {R}_0\]

Bereik:

\[\text {ber }f = \mathbb {R}_0\]

Nulwaarden:

\[\text {nulp } f: \diagup \]

Asymptoten:

\[\text {H.A.}: y=0\]

\[\text {V.A.}: x=0\]

5.4.2 Homografische functies

Vorm:

\[f(x)=\dfrac {ax+b}{cx+d} \qquad (c\neq 0 \wedge a \cdot d \neq b \cdot c)\]

Bespreken:

• • Functievoorschrift: \(f(x)=\dfrac {ax+b}{cx+d} \;.\)

• • polen \(f\): \(-\dfrac {d}{c}\)

• • \(\text {dom }f = \mathbb {R} \setminus \{\text {polen}\}\)

• • nulw \(f\): \(\begin {cases} x_0=-\dfrac {b}{a} & (a\neq 0)\\ \text {geen} & (a=0) \end {cases}\)

• • V.A.: \(x=\) polen

• • H.A.: \(y=\dfrac {\text {coÃńff }x}{\text {coÃńff }x}\)

• • \(\text {ber }f = \mathbb {R} \setminus \{\text {H.A.}\}\)

• • Tekenverloop: door splitsen in teller en noemer

• • Snijpunten bepalen

• • Grafiek schetsen

• • Stijgen en dalen: a.d.h.v. de grafiek

5.4.3 Rationale functies

Vorm:

\[y=\frac {t(x)}{n(x)}\]

• • \(t(x)\): teller, veeltermfunctie

• • \(n(x)\): noemer, veeltermfunctie

5.5 Exponentiële functies

5.5.1 Exponentiële functies

Vorm:

\[f(x) = a^x \qquad (a \in \mathbb {R}^+_0\setminus \{1\})\]

• • \(a\): grondtal

• • \(x\): exponent

Karakteristieken

• • Domein: \(\mathbb {R}\)

• • Bereik: \(\mathbb {R}^+_0\)

• • Nulwaarden: geen

• • Bijzondere punten: \((0,1),\; (1,a)\)

Grafiek

• • \(0 \lt a \lt 1\)

  

• • \(a \gt 1\)

  

5.6 Logaritmische functies

5.6.1 Logaritmische functie

Vorm:

\[f(x) = \log _a x\]

• • \(a\): grondtal \(a\in \mathbb {R}^+_0\setminus \{1\}\)

• • \(x\): argument

Karakteristieken:

• • \(\text {dom }\log _a x = \mathbb {R}^+_0\)

• • \(\text {ber }\log _a x = \mathbb {R}\)

• • Bijzondere punten: \((1, 0),\;(a, 1)\)

• • \(a \gt 1\)

  • – \(\log _a x\) is stijgend in \(\mathbb {R}^+_0\)

  • – \(\lim _{+\infty } \log _a x = +\infty \)

  • – \(\lim _{x\underset {>}{\to }0} \log _a x = -\infty \)

• • \(0 \lt a \lt 1\)

  • – \(\log _a x\) is dalend in \(\mathbb {R}^+_0\)

  • – \(\lim _{+\infty } \log _a x = -\infty \)

  • – \(\lim _{x\underset {>}{\to }0} \log _a x = +\infty \)

• • Asymptoten:

  • – V.A.: \(y\)-as met vergelijking \(x=0\)

Grafiek:

5.6.2 Hoofdeigenschap logaritmische functies

Eigenschap: De logaritmische functie met grondtal \(a\) en de exponentiële functie met grondtal \(a\) zijn inverse functies.

In symbolen:

\[f(x)=a^x \Rightarrow f^{-1}(x)=\log _ax\]

Grafisch: De grafieken van de logaritmische en exponentiële functies zijn elkaars spiegelbeeld ten opzichte van de eerste bissectrice in een orthonormaal assenstelsel.

• • \(a \gt 1\)

  

• • \(0 \lt a \lt 1\)

  

5.7 Goniometrische functies

5.7.1 Sinusfunctie

Vorm:

\[f(x) = a \sin (bx+c) + d\]

Karakteristieken:

• • Amplitude: \(|a|\)

• • Periode: \(T = \dfrac {2\pi }{|b|}\)

• • Faseverschuiving: \(-\dfrac {c}{b}\)

• • Verticale verschuiving: \(d\)

• • Domein: \(\mathbb {R}\)

• • Bereik: \([d - |a|, d + |a|]\)

Grafiek:

5.7.2 Cosinusfunctie

Vorm:

\[f(x) = a \cos (bx+c) + d\]

Karakteristieken:

• • Amplitude: \(|a|\)

• • Periode: \(T = \dfrac {2\pi }{|b|}\)

• • Faseverschuiving: \(-\dfrac {c}{b}\)

• • Verticale verschuiving: \(d\)

• • Domein: \(\mathbb {R}\)

• • Bereik: \([d - |a|, d + |a|]\)

Grafiek:

5.7.3 Tangensfunctie

Vorm:

\[f(x) = a \tan (bx+c) + d\]

Karakteristieken:

• • Periode: \(T = \dfrac {\pi }{|b|}\)

• • Faseverschuiving: \(-\dfrac {c}{b}\)

• • Verticale verschuiving: \(d\)

• • Domein: \(\mathbb {R} \setminus \left \{ \dfrac {\pi }{2} + k\pi : k \in \mathbb {Z} \right \}\)

• • Bereik: \(]-\infty , +\infty [\)

Grafiek: