Hoofdstuk 9 Stochastiek

9.1 Beschrijvende statistiek

9.1.1 Begrippen

• • Populatie : verzameling van alle elementen

• • Steekproef : deelverzameling van de populatie

• • Steeproefgrootte \(n\) : aantal elementen van de steekproef

• • Veranderlijke \(x\) : afbeelding van steekproef naar waarneming

9.1.2 Veranderlijken

• • Continue: nauwkeurigheid zelf te kiezen

• • Discrete: ordinaal of nominaal

9.1.3 Kengetallen

Centrummaten

• • gemiddelde \(\bar {x}\) : som waarnemingen gedeeld door de steekproefgrootte

  \[\bar {x} = \dfrac {1}{n} \sum _i x_i\]

• • mediaan \(Med\) : midden van de waarnemingen gerangschikt

• • modus \(Mod\) : meest voorkomende waarneming

Spreidingsmaten

• • variatiebreedte \(Ran\) : verschil tussen grootste en kleinste waarneming

  \[Ran = x_{\text {max}} - x_{\text {min}}\]

• • variantie \(Var\) :

  \[Var_x = \dfrac {1}{n} \sum _i \left (x_i - \bar {x}\right )^2\]

• • standaardafwijking \(s\) :

  \[s_x = \sqrt {\dfrac {1}{n} \sum _i \left (x_i - \bar {x}\right )^2}\]

9.2 Combinatieleer

9.2.1 Productregel

\(r\) onafhankelijke deelbeslissingen met

\[n_1, n_2, \ldots , n_r\]

mogelijkheden

\[\Rightarrow \#\text {mogelijkheden} = n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_r\]

9.2.2 Somregel

Met dubbele telling

\[\#(A \cup B) = \#A + \#B - \#(A \cap B)\]

• • \(\#A\) : aantal elementen in \(A\)

• • \(A \cup B\) : unie (vereniging), \(A\) of \(B\)

• • \(A \cap B\) : doorsnede, \(A\) en \(B\)

Met elkaar uitsluitende mogelijkheden Zijn \(A\) en \(B\) disjunctie verzamelingen

\[ \Rightarrow \#(A\cup B) = \#A + \#B\]

9.2.3 Faculteit

Definitie

\begin{align*} n!&=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \cdots \cdot 3\cdot 2\cdot 1\\ 1!&=1\\ 0!&=1\\ \end{align*}

Eigenschap

\begin{align*} (n+1)! &= (n+1) \cdot n!\\ n! &= n \cdot (n-1)!\\ \end{align*}

9.2.4 Permutaties

\begin{align*} P_n &= n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1\\ &= n! \end{align*}

9.2.5 Variaties

\begin{align*} V^k_n &= n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1)\\ &= \dfrac {n!}{(n-k)!} \end{align*}

9.2.6 Herhalingsvariaties

\[\bar {V}^k_n=n^k\]

9.2.7 Combinaties

\[C^k_n=\dfrac {n!}{k!\cdot (n-k)!}\]

9.2.8 Herhalingscombinaties

\[\bar {C}^k_n=C^k_{n+k-1}\]

9.2.9 Anagrammen (Herhalingspermutaties)

\begin{align*} P^{n_1,n_2,n_3,\dots ,n_k}_n &= \dfrac {n!}{n_1!\cdot n_2!\cdot n_3!\cdot \cdots \cdot n_k!}\\ &=\dfrac {\left (\sum _{i=1}^k n_i\right )!}{\prod _{i=1}^k n_i!} \end{align*}

9.2.10 Driehoek van Pascal

Binomiaalcoëfficiënten

De binomiaalcoëfficiënt waar we uit \(n\) elementen er \(k\) kiezen:

\[{n \choose k} = \dfrac {n!}{k! \cdot (n-k)!}\]

Recursieformule

Als \(k,n \in \mathbb {N}\) en \(k \lt n\):

\[{n \choose k} = {n-1 \choose k} + {n-1 \choose k-1}\]

Driehoek

\[ \scriptsize \begin {array}{r|cccccccccccccc} \underset {\downarrow }{n}\\ 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 3 & 3 & 1 \\ 4 & 1 & 4 & 6 & 4 & 1 \\ 5 & 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 \\ 6 & 1 & 6 & 15 & 20 & 15 & 6 & 1 \\ 7 & 1 & 7 & 21 & 35 & 35 & 21 & 7 & 1 \\ 8 & 1 & 8 & 28 & 56 & 70 & 56 & 28 & 8 & 1 \\ 9 & 1 & 9 & 36 & 84 & 126 & 126 & 84 & 36 & 9 & 1 \\ 10 & 1 & 10 & 45 & 120 & 210 & 252 & 210 & 120 & 45 & 10 & 1 \\ 11 & 1 & 11 & 55 & 165 & 330 & 462 & 462 & 330 & 165 & 55 & 11 & 1 \\ 12 & 1 & 12 & 66 & 220 & 495 & 792 & 924 & 792 & 495 & 220 & 66 & 12 & 1 \\ \hline & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & \leftarrow k\\ \end {array} \]

Eigenschap

\[{n \choose k} = {n \choose n-k}\]

Binomium van Newton

\[(a+b)^n=\sum ^n_{k=0}{n \choose k}a^{n-k}b^k\]

9.3 Kansrekening

9.3.1 Basisbegrippen kansrekening

\[ \begin {array}{l|l} \bf Begrip & \bf Notatie\\ \hline \text {(Kans)experiment} & E\\ \text {Uitkomst} & u_i\\ \text {Uitkomstenverzameling} & U\\ \text {Gebeurtenis} & A, B, ... \end {array} \]

9.3.2 Gebeurtenissen

Definities

• • \(A\) is een gebeurtenis

  \[\Leftrightarrow A \subset U\]

• • \(A\) is een onmogelijke gebeurtenis

  \(\seteqnumber{0}{9.}{0}\)

  \begin{align*} \Leftrightarrow A &= \emptyset \\ \#A &= 0 \end{align*}

• • \(A\) is een elementaire gebeurtenis

  \[ \Leftrightarrow \#A = 1\]

• • \(A\) is een zekere gebeurtenis

  \(\seteqnumber{0}{9.}{0}\)

  \begin{align*} \Leftrightarrow A &= U\\ \#A &= n \end{align*}

Bewerkingen

• • Tegengestelde (complement):

  \[\bar {A} = U \setminus A\]

• • Vereniging (unie):

  \[A \cup B \Leftrightarrow A \text { of } B \text { (of beide) treden op}\]

• • Doorsnede:

  \[A \cap B \Leftrightarrow A \text { en } B \text { treden tegelijk op}\]

Rekenregels

\begin{align*} \bar {\bar {A}} &= A\\ A \cup \bar {A} &= U\\ A \cap \bar {A} &= \emptyset \\ \overline {(A \cup B)} &= \bar {A} \cap \bar {B}\\ \overline {(A \cap B)} &= \bar {A} \cup \bar {B}\\ A \cap (B \cup C) &= (A \cap B) \cup (A \cap C)\\ A \cup (b \cap C) &= (A \cup B) \cap (A \cup C)\\ \end{align*}

Disjuncte gebeurtenissen

\(A\) en \(B\) zijn disjunct (elkaar uitsluitend)

\[\Leftrightarrow A \cap B = \emptyset \]

9.3.3 Kanswaarde

Definitie

\(P : U \to [0,1]\) is een kanswaarde als \(\forall A \subset U\):

• • \(P(A) \geq 0\)

• • \(P(U) = 1\)

• • \(A \cap B = \emptyset \Rightarrow P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)

Stellingen

• • \(P(\emptyset ) = 0\)

• • \(P(A) + P((\bar {A})) = 1\)

• • \(0 \leq P(A) \leq 1\)

9.3.4 Regel van Laplace

\(P\) heeft een uniforme kans op \(U=\{u_1,u_2,...,u_n\}\)

\[\Leftrightarrow P(u_1)=P(u_2)= \cdots =P(u_n)\]

\(P\) een uniforme kans dan geldt de regel van Laplace:

\[P(A) = \dfrac {\#A}{\#U}\]

9.3.5 Kanswetten

Kans van een onmogelijke gebeurtenis

\[P( \emptyset ) = 0\]

Bewaren van de orde van gebeurtenissen

\[A \subset B \Rightarrow P(A) \leq P(B)\]

Complementregel

\[P(\bar {A}) = 1 - P(A)\]

Somregel

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]

Verschilregel

\[P(A \setminus B) = P(A) - P(A \cap B)\]

9.3.6 Voorwaardelijke kans

Definitie

De kans op \(B\) op voorwaarde dat \(A\) gerealiseerd is:

\[P(B|A) = \dfrac {P(A \cap B)}{P(A)}\]

Eigenschappen

• • Bij uniforme kansen geldt

  \[P(B|A) = \dfrac {\#(A \cap B)}{\#A}\]

• • Productregel

  \(\seteqnumber{0}{9.}{0}\)

  \begin{align*} P(A \cap B) &= P(A) \cdot P(B|A)\\ &= P(B) \cdot P(B) \cdot P(A|B)\\ P(A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_n) &= P(A_1) \cdot P(A_2|A_1)\\ &\qquad \cdot P(A_3| A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n|A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_{n-1}) \end{align*}

• • Wet van totale kans

  \[\begin {cases} U = A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n\\ A_i \cap A_j = \emptyset \text { als } i \neq j\\ B = (A_1 \cap B) \cup (A_2 \cap B) \cup ... \cup (A_n \cap B)\\ \end {cases}\]

  \[ \Rightarrow P(B) = P(A_1) \cdot P(B|A_1) + P(A_2) \cdot P(B|A_2) + ... + P(A_n) \cdot P(B|A_n)\]

• • Wet van Bayes

  \[\begin {cases} U = A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n\\ A_i \cap A_j = \emptyset \text { als } i \neq j\\ B = (A_1 \cap B) \cup (A_2 \cap B) \cup ... \cup (A_n \cap B)\\ \end {cases}\]

  \[ \Rightarrow P(A_k|B) = \dfrac {P(A_k) \cdot P(B|A_k)} {P(A_1) \cdot P(B|A_1) + P(A_2) \cdot P(B|A_2) + ... + P(A_n) \cdot P(B|A_n)}\]

9.3.7 Onafhankelijke gebeurtenissen

\(A\) en \(B\) zijn onafhankelijke gebeurtenissen

\begin{align*} \Leftrightarrow && P(A \cap B) &= P(A) \cdot P(B)\\ \Leftrightarrow && P(A|B) &= P(A)\\ \Leftrightarrow && P(B|A) &= P(B) \end{align*}

9.4 Distributiefuncties

9.4.1 Speciale distributiefuncties

Uniforme verdeling

Notatie:

\[X \sim U(n)\]

Kans:

\[P(X=x_i)=\dfrac {1}{n}\]

Karakteristieken:

\[ \begin {array}{r|rcl} \text {Verwachtingswaarde} & \mu = E(X) & = & \dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^nx_i \\ \text {Variantie} & \text {Var}(X) & = & E(X^2)-E^2(X) \\ & & = & \dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^n\left (x_i^2-\mu ^2\right ) \\ \end {array} \]

Normale verdeling

Notatie:

\[X \sim N(\mu , \sigma ^2)\]

• • \(\mu \) : verwachtingswaarde

• • \(\sigma ^2\) : variantie

Kansdichtheidsfunctie:

\[f_X(x) = \dfrac {1}{\sigma \sqrt {2\pi }}e^{-\dfrac {(x-\mu )^2}{2\sigma ^2}} \qquad (x \in \mathbb {R})\]

Karakteristieken:

\[ \begin {array}{r|rcl} \text {Verwachtingswaarde} & E(X) & = & \mu \\ \text {Variantie} & \text {Var}(X) & = & \sigma ^2 \\ \text {Standaardafwijking} & \sigma _X & = & \sigma \end {array} \]

Exponentiële verdeling

Notatie:

\[X \sim Exp(\lambda )\]

• • \(\lambda \) : parameter

Kansdichtheidsfunctie:

\[f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x} \qquad (x \geq 0)\]

Karakteristieken:

\[ \begin {array}{r|rcl} \text {Verwachtingswaarde} & E(X) & = & \dfrac {1}{\lambda } \\ \text {Variantie} & \text {Var}(X) & = & \dfrac {1}{\lambda ^2} \\ \text {Standaardafwijking} & \sigma _X & = & \dfrac {1}{\lambda } \end {array} \]

Bernoulli verdeling

Kans:

\[P(X=k)=p^k(1-p)^{1-k} \qquad (k=0,1)\]

Karakteristieken:

\[ \begin {array}{r|rcl} \text {Verwachtingswaarde} & E(X) & = & p \\ \text {Variantie} & \text {Var}(X) & = & p(1-p) \\ \text {Standaardafwijking} & \sigma _X & = & \sqrt {p(1-p)} \end {array} \]

Binomiale verdeling

Notatie:

\[X \sim B(n,p)\]

• • \(n\) : Aantal herhalingen experiment

• • \(p\) : kans op succes

• • \(q=1-p\) : kans op mislukking

Kans:

\[P(X=k)={n \choose k}p^kq^{n-k} \qquad (k=0,1,...,n)\]

Karakteristieken:

\[ \begin {array}{r|rcl} \text {Verwachtingswaarde} & E(X) & = & np \\ \text {Variantie} & \text {Var}(X) & = & npq \\ \text {Standaardafwijking} & \sigma _X & = & \sqrt {npq} \end {array} \]

Poisson verdeling

Notatie:

\[X \sim Po(\lambda )\]

• • \(\lambda \) : parameter

• • \(Po(\lambda ) \sim B(n,p)\) als \(p \leq 0.1\) en \(np \leq 10\)

Karakteristieken:

\[ \begin {array}{r|rcl} \text {Verwachtingswaarde} & E(X) & = & \lambda \\ \text {Variantie} & \text {Var}(X) & = & \lambda \\ \text {Standaardafwijking} & \sigma _X & = & \sqrt {\lambda } \end {array} \]